複素解析ゼミノート(1) －一致の定理

ただ今，絶賛夏休みを満喫中でございます．

そして，めっきりブログの更新頻度が減ってしまいました．

てへぺろ．

9月に入って，ようやく成績が発表されました．

まぁ，何とも言えない感じの成績でしたね．

後期はむつかしい授業が多いっぽいので，気合入れて頑張っていきましょうね．

とりま，夏休みの間にLebesgue積分のお勉強頑張ります．

今回から，6月より始めた複素解析ゼミで学んだことを適当にまとめていこうかなと思います．

「今さら記事にすんのかい」と思われるかもですが，最初の方は別にまとめんでもええかなって感じです．

というより，まとめる暇がありませんでした…

ゼミで使用しているテキストは，笠原乾吉さんの『複素解析 1変数解析関数』です．

まさかの文庫本です．

文庫本にしては色々書かれています．

僕の数学力だと，しばしば行間を埋めるのに苦労しますね…

この複素解析ゼミノートは，上で紹介したテキストの内容に沿ってまとめていくつもりです．

ということで，第一回目はテキストp.41の一致の定理を紹介していきます．

一致の定理は正則関数の強さを物語る定理の一つで，簡単に言うと「ある領域 $D$ 上で定義された2つの正則関数が $D$ 内のある曲線上または小領域上で一致していれば， $D$ 上全体で両者が一致している」ことを保証してくれるものです．

この定理から解析接続のお話に繋がっていくそうですが，それについてはまた近い将来勉強してから記事にしたいですねぇ．

定理 2.1.1（一致の定理）

 は領域  で正則な関数とする．
このとき，次が成り立つ．

(i) 1点  で  ならば，
 で恒等的に  である．

(ii) 1点  と  に収束し  である点列  が存在し，
 ならば  で恒等的に  である．

　
一致の定理を上の形で適用する機会は多分少ないです．

$D$ 上のある1点の近傍またはある曲線上で $f(z) \equiv g(z)$ であれば（ii）の仮定を満たすので，その形で一致の定理が用いられることが多いと思います．

この定理の証明ではTaylor展開と連結性を利用しますが，ここではそれらについて詳しく説明しません．

あと， $h(z) := f(z)-g(z)$ とすると $h(z)$ は $D$ 上で正則かつ $h(z)=0 \Leftrightarrow f(z)=g(z)$ であるので， $g(z) \equiv 0$ として一致の定理が成り立つことを示せば十分です．

（i）の証明

集合 $O_1, O_2$ を

$\displaystyle O_1 := \{ z \, ; z \in D , f(z)=0, f^{(n)}(z)=0 \, (n \in \mathbb{N}) \} \\ O_2 := D \backslash O_1$

のように定めます．

このとき， $O_1, O_2$ が共に $D$ の開集合でかつ $O_1 \ne \emptyset$ であることが分かれば， $D$ が連結であることから $O_2 = \emptyset$ であることが示され，結局 $D=O_1$ であるので定理が示されます．

ここで $D$ の開集合とは，ある $\mathbb{C}$ の開集合 $O$ により $O \cap D$ と表される集合のことです．

$D$ の閉集合も同様にして定義されます．

仮定より $O_1 \ne \emptyset$ であることはすぐに分かるので，あとは2つの集合が $D$ の開集合であることを示すだけです．

（以下，特に断らない限り「開（閉）集合」は「 $D$ の開（閉）集合」を意味するものとします．）

まず， $O_1$ が開集合であることを示すのですが， $O_1 \cap D = O_1$ であることから $\mathbb{C}$ の開集合であることを示せば十分です．

任意の点 $w \in O_1$ に対して $D$ に含まれるように点 $w$ のある $r$ -近傍 $U_r(w)$ をとると，その近傍上で $f(z)$ はTaylor展開可能で，

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(w)}{n!}(z-w)^n \quad (z \in U_r(w))$

となります．

（ここで， $f^{(0)}(w) = f(w)$ であると解釈しています．）

$w \in O_1$ より $f(w)=0, f^{(n)}(w)=0 \, (n \in \mathbb{N})$ であるから

$\displaystyle f(z) \equiv 0 \quad (z \in U_r(w))$

であることが分かります．

これより， $U_r(w)$ 上全体で $f(z)=0, f^{(n)}(z)=0 \, (n \in \mathbb{N})$ であるから

$\displaystyle U_r(w) \in O_1$

という結論を得ます．

以上より， $O_1$ が開集合であることが分かりました．

次に， $O_2$ が開集合であることを示します．

ここで， $O_1$ のときと同じような方針で示したくなりますが，そもそも $O_2$ は空集合であるかもしれないので，「 $O_2$ から任意の点をとる」といったことができないはずです．

ですので，「閉集合の補集合は開集合である」という性質を用いて， $O_2$ が開集合となることを確かめるためにその補集合である $O_1$ が閉集合であることを示したいと思います．

ここで，僕の小言挟まさせてください．
そもそも， $O_1$ が閉集合であることを示せた時点で， $O_2$ がどうとか関係なく直ちに $D=O_1$ が言えるはずです．
なぜなら， $O_1$ は開集合かつ閉集合であることが分かり，そのような集合は空集合を除いて $D$ しか存在しないからです．
要するに，僕は $O_2$ を考える必要なんてなかったのではと考えています．
しかし，テキストでは連結性について深く説明していないので*1，今回のような証明の方針をとっているのだと思いました．

というか，テキストが何をもって「 $O_2$ が開集合である」と言っているのか僕にはよく分かりませんでした．
その辺を頭に入れて読んでいただけると幸いです．