さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。

さんすうのーと(4) ―上極限・下極限

前回:上限・下限



前回は上限・下限についてまとめたのですが,せっかくなので,今回は前回の続きとして上極限・下極限についてもまとめてみます.

上限・下限がよく分かってない方は,前回の記事と合わせて読んで頂けるとよいのではないかと思います↓

32-mathg.hatenablog.com



「数列の上極限と下極限が一致したら,その数列は収束していて極限が上極限(下極限)に等しい」ということを知ってる人は少なくないと思います.

これを利用して数列の収束判定をするのが常套手段ですよね.


とりあえず,上極限・下極限の定義を思い出してみましょう.*1

Def. (上極限・下極限)

実数列 \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} の上極限  \varlimsup_{n \to \infty} a_n,下極限 \varliminf_{n \to \infty} a_n を次のように定義する:
 \displaystyle
\varlimsup_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} a_k, \quad \varliminf_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} a_k
ここで,\sup_{k \ge n} a_k, \, \inf_{k \ge n} a_k はそれぞれ n について単調減少,単調増加な数列なので, 極限として  \pm \infty の値をとることも許せば,必ず上極限・下極限は存在する.

 
ここで,一つ気になることがあります.

この定義を見て上極限・下極限それ自体が一体どういうものなのか,イメージがつく人はどれほどいるのでしょうか?

特に,「上極限=下極限」となる状況というのは具体的にどういう状況なのか,気になったことはありませんか?


今回はこの疑問に答える形で上極限・下極限の持つ性質についてまとめてみたいと思います.


ここで,説明を簡潔にするため,用語の定義を確認しておきます.

Def. (集積値)

 x \in \bar{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} が実数列  \{a_n\} のある部分列の極限となっているとき,
 x は数列 \{a_n\} の集積値という.


集積値のイメージをざっくり説明すると,数直線上に数列の点を打った時に,「究極的に」数列の点が密集している点がその数列の集積値となります.

もちろん,数列に含まれる点が集積値となる可能性もあります.

ここで,位相空間における「集積点」とは違うこと注意しましょう.

例えば,  a_n := c \, (n \in \mathbb{N}, \, c \in \mathbb{R}) で定まる定数列 \{a_n\} を考えると,c は数列 \{a_n\}集積値になっています.

しかし,この数列を集合としてみなすと1点集合  \{c\} になっているが,c はこの1点集合の集積点ではないからです.


ここで,上極限の特徴づけをしましょう.

Prop. 1 

実数列  \{ a_n \} a_0 \in \bar{\mathbb{R}} について,次の(1)~(3)は同値である:

(1)  \displaystyle a_0 = \varlimsup_{n \to \infty} a_n

(2) (a)  \displaystyle \forall x < a_0, \quad  \# \{ n \, ; \, x < a_n \} = \infty  (b)  \displaystyle \forall x > a_0, \quad \exists N, \quad \forall n \ge N, \quad x > a_n

(3)  a_0 \{ a_n\} の最大の集積値である

 
(2)(b)は次のように言い換えると分かりやすいかもしれません:

 \forall x > a_0, \quad \# \{ n \, ; \, x \le a_n \} < \infty


Proof

記法を簡潔にするために, l_n := \sup_{k \ge n} a_k とおく.


(1) ⇒ (2)

 a_0 = -\infty のときは, x < a_0 をみたすような  x \in \mathbb{R} が存在しないので,(a)は自明であることに注意する.

 a_0 = \infty のときに(b)が自明であることも同様である.

仮定と \{ l_n \} が減少列であることから  a_0 = \inf_{n \in \mathbb{N}} l_n

(a): x < a_0 なる  x \in \mathbb{R} を任意にとる.

すると,任意の n に対して  x < l_n = \sup_{k \ge n} a_k

上限の性質より,

  \forall n, \quad \exists k_n \ge n, \quad x < a_{k_n}

これはまさしく  \# \{ n \, ; \, x < a_n \} = \infty を意味するので,(a)が示された.

(b): x > a_0 なる  x \in \mathbb{R} を任意にとる.

すると, x > \inf_n l_n であるから下限の性質よりある N が存在して  x > l_N が成り立つ.

よって,

 \forall n \ge N, \quad x > l_N \ge l_n > a_n

であるから,(b)が示された.


(1) ⇐ (2)

まず, a_0 \ge \inf_n l_n であることを示す.

 a_0 = \infty のときは明らかに成り立つので, a_0 < \infty と仮定する.

 a_0 < \inf_n l_n であるとすると,ある x が存在して  a_0 < x < \inf_n l_n となる.

仮定より,ある N が存在して  a_n < x \, (n \ge N) となるので, \inf_n l_n \le l_N \le x が成り立つ.

しかし, x < \inf_n l_n であったので,これは矛盾である.

よって, a_0 \ge \inf_n l_n が示された.

ここで  a_0 > \inf_n l_n とすると,ある y が存在して  a_0 > y > \inf_n l_n となる.

仮定より  a_n >y なる n が無限に存在する.

もし  \inf_n l_n < y ならば,(1) ⇒ (2)より十分大きい n 全てに対して  a_n < y が成り立つので, a_n > y を満たす n は有限個のみになってしまう.

よって, \inf_n l_n \ge y であるが,これは  y > \inf_n l_n であることに反する.

これより, a_0 = \inf_n l_n が示された.


(2) ⇒ (3)

 a_0 \in \mathbb{R} のときに示す.

(a),(b)より,任意の  j \in \mathbb{N} に対して  a_0 + 1/j > a_n > a_0 - 1/j を満たす n が無限に存在する.

これより, a_0 に収束する  \{a_n\} の部分列が存在するので, a_0 は集積値である.

ここで, x  > a_0 なる  x \in \bar{\mathbb{R}} を任意にとると, x > x' > a_0 なる  x' が存在し,(b)より有限個 n を除いて  x' > a_n となる.

よって, x に収束する部分列は存在しないことが分かり, a_0 が最大の集積値であることが示された.

 a_0 = \pm \infty のときは,上の証明を若干修正するだけでよいので省略する.


(2) ⇐ (3)

 a_0 = \pm \infty のときは,(1) ⇒ (2)の証明の冒頭と同様のことに注意する.

(a):仮定より a_0 に収束する部分列  \{ a_{n(j)} \} が存在する.

よって,次が成り立つ:

 \forall x < a_0, \quad \exists N, \quad \forall j > N, \quad x < a_{n(j)}

これは  \# \{ n \, ; \, x < a_n \} = \infty を意味するので,(a)が示された.

(b): x > a_0 なる x を任意にとる.

 a_n \ge x を満たす n が無限個存在するとする.

このとき, a_{n(j)} \ge x を満たすような部分列  \{ a_{n(j)} \} が存在する.

この部分列は必ず \bar{ \mathbb{R} } 上で収束するような,さらなる部分列を含む.

(これはBolzano–Weierstrassの定理を利用すれば分かる.)

しかし,その収束点を  b とすると  b\ge x > a_0 が成り立つので, a_0 の最大性と矛盾する.

以上より, a_n \ge x を満たす n が有限個しか存在しないことが分かり,(b)が示された.  \square



この命題により,「 \varlimsup a_n \{ a_n \}最大の集積値」であることが分かりました.

また, \varliminf a_n = -\varlimsup (-a_n) であることを利用して,「 \varliminf a_n \{ a_n \}最小の集積値」であることも上の命題の系として分かります.


最後に,上極限・下極限と数列の収束条件との関係を命題の形にまとめてみましょう.

証明はProp. 1を知っていれば,さほど難しくはありません.

Prop. 2 

実数列  \{ a_n \} について,次は同値である:

(1)  \lim a_n = a_0 なる  a_0 \in \bar{ \mathbb{R} } が存在する

(2)  \displaystyle \varliminf a_n = \varlimsup a_n


Proof

(1) ⇒ (2)

仮定より,任意の部分列は  a_0 に収束する.

つまり, \{ a_n \} の集積点は  a_0 ただ一つなので,Prop. 1と合わせて  \varlimsup a_n = \varliminf a_n = a_0 となる.


(1) ⇐ (2)

 u_n := \inf_{k \ge n} a_k, \, l_n := \sup_{k \ge n} a_k とおく.

このとき,任意の  n に対して  u_n \le a_n \le l_n が成り立つので,はさみうちの定理より  \lim a_n = \lim l_n = \varlimsup a_n が成り立つ.  \square


上の証明より,Prop. 2の(1),(2)のどちらかが成り立つと,極限は上極限と下極限に一致することが分かります.



結局,上極限・下極限とは最大・最小の集積値であり,「上極限=下極限」となる状況というのは集積値がただ一つだけ存在するという状況であることが分かりました.

ただ概念の定義だけを知っていても,証明をするときにうまいこと使いこなせないかもしれません.

証明のアイデアが直感やイメージから湧いてくることが多々あると思うので,イメージをつかむという作業はとても大事だと思います.

僕もそういうところをサボらずやっていきたいですね.



次回:π-λ定理を取り上げたいなというお気持ち

*1:杉浦『解析入門Ⅰ』の定義を採用