Hadamardの定理
友達2人と一緒に高木貞治さんの『定本 解析概論』をぼちぼち読み進めていって、分からないところについて議論したりしてます。
とある日、p.78,79に載っている「Hadamard(アダマール)の定理」の証明がよく分からなかったので先生に質問してきました。
今回は本に載ってる証明文を引用しながら証明をまとめていきます。
アバウトな部分が多々あると思いますが、そこは目をつぶってください…
※数式が正しく表示されるまで時間かかるかもしれないけど許してね(はぁと
まずは証明したい命題を示します。
次行列式を とおく。 このとき、 が成り立つ条件下において(ただしは与えられた正数)、次の関係式が成り立つ
では証明を見ていきましょう。
は個の変数の多項式であるが、ここでは条件(7)のために独立変数は個である。
n-1列目の要素をとすると、条件式(7)よりはの値に依存して決まるので、は独立変数ではなくなります。
つまり、独立変数は個となります。
今n次元の球面(7)の上の点をとして
なる組合せの関数として行列式を考察すれば、…
ここで「n次元の球面」という表現が出てきていますが、先生曰く、正しくは「n-1次元の球面」だそうですね。
言われてみれば確かにそうですわ。
でもぶっちゃけ幾何学の勉強なんか全然してないから、なんで「n-1次元の球面」って表現するかはよく分かんないね。
直感的には分かってるつもりだけど…
…はに関して連続で、の変動の区域は閉区域で、かつその点はすべて内点である。よっての最大値、最小値は存在して、それらはの極値の中から求められる。
ここは適当に読み流してしまいそうだけど、ちゃんと理解しようと思うとちょいとムズいとこ。
まず、D(P)の連続性だけど、これは閉区域内でPを動かしたときにDが飛び飛びの値を取らないということで、素直に認めてしまいましょう(投げやり
Dを実際に展開してみたら簡単な連続関数の和・差・積・商で表されるからとか、そんな感じなんですかね…
Pの変動区域が閉区域になることや、点Pがすべて内点であることについては深く突っ込まないことにします。
集合・位相の勉強してないから仕方ないね。
勉強してから追記加えるかもね。
そんで、D(P)は閉区域内で連続だから、その区域内で最大値、最小値を持つわけですね。
さらに、先ほど述べたとおり点Pは必ず内点となるため、最大値、最小値を取る点では必ず極値を取ります。
分かりやすく図で示すと↓
内点で最大値、最小値を取るとき、その点では必ず極値を取りますが、内点でないところで最大値、最小値を取るときは、その点で極値を取るかどうかは分かりません。
つまり、極値の中に最大値、最小値があるから、とりあえず極値はどんな値を取るか調べてやろうぜって話。
さて
はの余因子で、…(略)。そこで(7)を考慮に入れて、の極値の必要条件として
を得る。に関しても同様だから
Dが極値を取る点では少なくとも
を満たさないといけませんよね?
これらが同時に満たされるときにどういう関係式が導かれるかを調べます。
ここではについてのみ考察します。
式(a)を見てみると
となることが分かります。
これは、(7)式の両辺をで微分してやると
といった感じで導かれます。
よって、を仮定すると
が成り立ちます。
についても同様の式が成り立ちます。
ここでは都合上、式(b)にまで変形しません。
さてとすれば
故に
式(c)が成り立つことを確かめるために、i行目とj行目が等しい次のn次行列式Aを考えます。
(ただし)
Aをj行目に関して余因子展開すると
となります。
Aはi行目とj行目が等しいので行列式の性質よりとなり、また、仮定よりなので
が成り立つというわけです。
僕は最初、どんな行列式に対しても本当に式(c)が成り立つのか疑ってました。
だって、i行目とj行目が等しい特殊な行列式から導いた式なんですもん。
でも、どんな行列式についても式(c)の左辺のような式を考えるということは、それすなわちj行目の要素をすべてi行目の要素にすり替えてからj行目に関して余因子展開するということだから、やはりどんな行列式に対しても式(c)が成り立つんだなと勝手に解釈しました。
どうしても納得できない人は、簡単な行列式を例として式(c)が成り立つか確認してみてはどうでしょう。
そして、さっき導いた式
を式(c)に代入すると
となります。
この両辺にをかけて、さらにで割ると
となり、式(8)が導かれました。
式(b)を見ても分かるとおり、だととなり、となってしまいます。
つまり、のときにはDは明らかに極値を取らないだろうということで、としたわけです。
ここで、式(8)をよ~く見てみましょう。
i行目とj行目の行ベクトルの内積が0になっていますよね?
つまり、Dが極値を取るとき、各行ベクトルはそれぞれ互いに直交するのです。
(7),(8)からはの値は決まらないが、の絶対値は確定する。すなわち(7),(8)を用いて
すなわち
さて、ラストスパートでございますよ!
ここで、説明しやすいようにとします。
行列式の性質より
が成り立ちます。
これらを利用して、
ということで、Dの最大値が、最小値がであることが分かりましたね。
つまり、
が示されました。
最後に一言…
疲れた。
この記事を書くのが疲れたって言ってんだよ!
察しろ!
しばらくは、こんなに長くてガチガチな記事を書くことはないでしょう。
受験前だし…
ではでは