写像による像，逆像 - さとぅーの寝言

高専4年の夏，僕は大阪大学のオープンキャンパスに行ってきました．

そこで，編入学した現役阪大生に質問する機会がありました．

わし「編入するまでにした方が良いことはありますか？」

先輩「集合・位相の勉強した方が良いよ．でないと授業についていけない．」

なるほどな．

言われなきゃ絶対勉強してなかったわ．

そんなわけで，『集合・位相入門』をがんばって読み進めています．

先輩には「松坂先生の本は難しいからやめといた方がいいよ」と言われたのですが…

そんなこと言われたら逆に読みたくなっちゃうじゃないですか！！！

今回はp.31に載っている，写像による像，逆像に関する定理についてまとめようと思います．

全部まとめるのはさすがにしんどいんで一部だけってことで．

をからへの写像とするとき，による像および逆像（原像）について，次のことが成り立つ．
ただし，はの部分集合，はの部分集合である．

本題に入る前に，なぜこれを取り上げようと思ったのかというと，なんとびっくり，これらの証明が大学編入学試験で出題されたからなんですね～

しかも僕が受験した年に

こんな物好きな問題を出すとこなんて，だいぶ限られますね．
出題校ばれちゃうね．

これらの証明を本で読んだとき，「うわぁ，あのときの解答間違ってるやんけ…」ってなりました．

試験中のわし「あれｗｗｗｗこれ証明できちゃったんじゃねｗｗｗｗｗｗｗｗ」

あの時の自分にラリアットを食らわせてやりたいです．

この辺の詳しい話はあとにして，まずは定理の証明を見ていきましょう．

まず，今回示す3つの式をよく見ると，等号が成り立つのは式(4.3')のみで，あとの2つは必ずしも等号が成り立たないのです．

僕は試験のとき，この点にまんまと引っかかったというわけですね(半ｷﾞﾚ

とりあえず，最初は等号が成り立つ(4.3')から証明してった方が良いかなと勝手に思ったので，そうさせていただきます．

(4.3')の証明

(4.3')が成り立つことを示すためには，

$f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) \subset f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2) \tag{a}$
$f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) \supset f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2) \tag{b}$

この両方が成り立つことを示さなければなりません．

まずは(a)が成り立つことを示します．

であるから，．
同様にして，．

したがって，．

　
ここでは同じくp.31に載ってる

$\displaystyle Q_1 \subset Q_2 \Rightarrow f^{-1}(Q_1) \subset f^{-1}(Q_2) \tag{4.1'}$

を利用しています．

本ではこれが成り立つのは自明だとしていますが，「 $Q_1 \subset Q_2$ のとき， $q \in Q_1 \Rightarrow q \in Q_2$ が成り立つ」ということを改めて考えれば，(4.1')が自明であることは分かると思います．

$f^{-1}(Q_1 \cap Q_2)$ は $f^{-1}(Q_1)$ と $f^{-1}(Q_2)$ のどちらにも含まれるので，結局

$\displaystyle f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) \subset f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$

が成り立つというわけですね．

次に(b)が成り立つことを示します．

 とすれば， かつ ．
 なので ．
同様に，．

以上より  が成り立つので ．

したがって，

$f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$ に属する任意の $a$ をとると，その $a$ は必ず $f^{-1}(Q_1 \cap Q_2)$ にも属することが言えたので，結局(b)が成り立つというわけですね．

というわけで，(a)と(b)の両方が成り立つことが証明できたので，

$\displaystyle f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2) \tag{4.3'}$

が証明できたというわけでございます．

(4.3)の証明

前述の証明と同様にして，

$f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$

であることが分かります．

これで(4.3)の証明はできたわけなんですが，本題は

$f(P_1 \cap P_2) \color{red}{\supset} f(P_1) \cap f(P_2) \tag{c}$

が成り立つかどうかですよね．

ここで一つ例を考えてみましょう．

として，写像  を



によって定め， とする．


すると， となるので

．


一方， であるので

．


したがって，この例において  は成り立たない．

てな感じで(c)の反例が存在するので，

$f(P_1 \cap P_2) \neq f(P_1) \cap f(P_2)$

となるわけなんすね～

ちなみに，試験では $f(P_1 \cap P_2) = f(P_1) \cap f(P_2)$ が成り立つかどうかを問われたわけなんですが，僕は $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ が成り立つことだけを示して，問題を証明した気になってました．

まぁ，それすらも示せていたのかどうかも怪しいですが．

なんとも哀れ．

具体的には以下のように解答してました(たぶん

である任意の  をとると，．
また， かつ  であるので，かつ．
つまり，

したがって， ←違う

懺悔はもうこれくらいでいいでしょう…

(4.5')の証明

 とすれば， となるような  が存在する．
 なので，．
仮定より  なので，．

したがって，

$f(f^{-1}(Q))$ に属する任意の $b$ をとると，その $b$ はまた $Q$ にも属していることが言えたので，(4.5')の証明はひとまずできました．

続いては， $f(f^{-1}(Q)) \supset Q$ の反例を前述の例を再び用いて示します．

 とすれば  であるが，
明らかに  である．

したがって，この例において  は成り立たない．

　
ここでも等号は成り立たず，

$f(f^{-1}(Q)) \neq Q$

というわけです．

最近はひたすら卒研に追われて，なかなかさんすうのお勉強ができておりません…

ぷよぐやみんぐつらひ…

今度は集合の濃度に関するお話が面白そうなんで，そこについてまとめようかなぁと思ったり思わなかったりです．

そんじゃあまた