大学編入試験の過去問解説(4)－ふとうしきとあそぼう

高専生活最後のテストを終え，そして卒研絡みのイベントもすべて終え，水を得た魚，スターを得たマ〇オのように元気を取り戻したさとぅーでございます．

イェェェェェエエエエエエエエェェエエエエエエエエエーーーーーーーーーーーーーイ！！！！！！！！

ごめん，これがやりたかっただけ．

そろそろ1つ下の後輩が進路関係でピリピリしだす頃ですな．

就活も受験勉強も頑張ってくれって感じですわ．

今回取り上げる問題はこちら．

(1)  の範囲で3つの関数  を考える．
ただし， は自然対数， は自然対数の底である．
すべての  について， を示せ．
また， の2つの不等式それぞれについて，
等号の成立する  の値を求めよ．

(2) を満たす任意の数列  と任意の  に対して，



を示せ．ただし， は  個の実数  をかけた数を表す．

(3)  のとき，
 を最小にする  の値と最小値を  を用いて表せ．

(4) 不等式(i)において，右辺の  をより大きな数（ によらない）に変えても，
 を満たす任意の数列  と任意の  に対して，
この不等式が成立するか，理由をつけて答えよ．

以下から各設問の解説に飛べます．

設問(1)
設問(2)
設問(3)
設問(4)

設問(1)

$F(x) := f(x)-g(x)$ と置きます．すると， $x>0$ の範囲で $f(x) \ge g(x)$ であることを示したければその範囲で $F(x) \ge 0$ であることを示せばよいし， $f(x)=g(x)$ が成り立つときの $x$ の値が知りたければ $F(x)=0$ を満たす $x$ の値を求めればよいことになります．

そのためには， $F(x)$ の増減表を完成させればOKです．

詳細は省きますが， $F(x)$ の増減表は以下のようになります．

f:id:mathg-32:20170303201302p:plain

というわけで， $x>0$ の範囲で $f(x) \ge g(x)$ であり，これの等号が成り立つのは $x=1$ のときであることが分かりました．

全く同様にして， $x>0$ の範囲で $g(x) \ge h(x)$ であることが示され，等号が成り立つのは $x=\frac{1}{e}$ のときであることが分かります．

設問(2)

この不等式は，設問(1)の結果を利用すればすっきりと証明することができます．

そのために， $x_i := 1+a_i$ と置きます．

すると，条件より $a_i >-1$ なので $x_i>0$ ．

また，式(i)を書き換えると

$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \prod_{i=1}^{n} x_i > -\frac{1}{e} \tag{ii}$

となります．

さらに， $x_i \ne 0$ より $\prod\limits_{i=1}^{n} x_i \ne 0$ なので，式(ii)の両辺を $\prod\limits_{i=1}^{n} x_i$ で割ると

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1) > -\frac{1}{e \prod\limits_{i=1}^{n} x_i} \tag{iii}$

となり，これで準備が整いました．

式(iii)を示せば，もちろん式(i)も示せたことになります．

$\prod\limits_{i=1}^{n} x_i > 0$ であることに注意し，設問(1)の結果を利用すると

$\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1) &= (x_1 - 1) + \cdots + (x_n -1) \\ &\ge \mathrm{log} \, x_1 + \cdots + \mathrm{log} \, x_n \quad (\because f(x_i) \ge g(x_i)) \\ &= \mathrm{log} \, \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \\ &\ge -\frac{1}{e \prod\limits_{i=1}^{n} x_i} \quad (\because g \left( \prod x_i \right) \ge h \left( \prod x_i \right)) \end{align}$

上の式の中に出てきた2つの不等式について，設問(1)の結果から同時に等号は成り立たないので，結局

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - 1) > -\frac{1}{e \prod\limits_{i=1}^{n} x_i}$

であることが分かり，式(iii)が示されました．

設問(3)

これは，設問(2)における数列 $\{ a_i \}$ が定数列 $\{ t \}$ のときに，式( i )の左辺が最小となる $t$ の値を求める問題ですね．

$a_i =t$ のとき，式(i)の左辺は

$\displaystyle y_n (t) := nt(1+t)^n \tag{iv}$

と書き直すことができます．

式(iv)の両辺を $t$ で微分すると

$\displaystyle \frac{dy_n}{dt} = n(1+t)^{n-1}\{ (n+1)t+1 \}$

となり， $\frac{dy_n}{dt} = 0$ を満たす $t$ の値は， $1+t \ne 0$ なので

$\displaystyle t = -\frac{1}{n+1}$

であることが分かります．

$y_n$ が最小値をとり得る $t$ の値は1つなので，この段階で最小値を求めてやってもいい気がしますが，それだとなんか気持ちが悪いので一応増減表を作ってみます．

f:id:mathg-32:20170303201607p:plain

てなわけで， $y_n$ の最小値は $- \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n+1}$ であることが分かりました．

設問(4)

設問(2)で登場した式(i)の右辺をより大きな数に変えたときの不等式

$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i) > -\frac{1}{e} + \varepsilon \tag{i'}$

が成り立つことを示したいとき，条件を満たす任意の数列 $\{ a_i \}$ ，任意の $n$ をとっても成り立つことを示さなければなりません．

逆に成り立たないことを示すときはある数列 $\{ a_i \}$ ，またはある $n$ をとったときに式(i’)が成り立たないこと，つまり反例を示せばいいわけです．
（もちろん， $\varepsilon >0$ です．）

そして，先に結果を言ってしまうと，式(i’)は成り立ちません．

設問(3)の結果を用いることで反例を示すことができます．

繰り返しになりますが，設問(3)で考えた定数列は設問(2)で仮定した数列 $\{ a_i \}$ が満たすべき条件をクリアしているので，この定数列 $\{ a_i \} = \{ t \}$ を用いると，式(i')は

$\displaystyle y_n (t) > -\frac{1}{e} + \varepsilon　\tag{v}$

と書き直すことができます．

さらに，式(v)が成り立つことを知りたければ，任意の $n, \, t \, (>-1)$ においても左辺の最小値が右辺より大きいかどうかを調べればいいわけです．

まずは設問(3)で求めた $y_n(t)$ の最小値 $y_{\mathrm{min},n}$ の極限値を求めてみます．

$\displaystyle \begin{align} \lim_{n \to \infty} y_{\mathrm{min},n} &= -\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n+1} \\ &= -\lim_{m \to \infty} \left( \frac{m-1}{m} \right) ^{m} \quad (m := n+1) \\ &= -\lim_{m \to \infty} \left( 1- \frac{1}{m} \right) ^{m} \\ &= -e^{-1} = -\frac{1}{e} \end{align}$

ここで， $m:=n+1$ と置いたときに $n \to \infty \Rightarrow m \to \infty$ であることを用いています．