さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。勉強したことや趣味について適当に綴っていきます。

複素解析ゼミノート(2) -有理関数と有理型関数

前回:一致の定理


最近,阪ゼミの集会で複素解析ゼミの進捗報告をする機会を頂きました.

そこで発表した内容の原稿をMarkdownでまとめていたので,それをほぼそのままこっちに載せることにしました.

内容は,有理関数とその一般化である有理型関数とを結びつける定理についてです.

有理型関数は一般的に有理関数とはなりませんが,広義の複素平面上の有理型関数を考えると,それは必ず有理関数になっているという定理です.

前半ではその定理の証明に必要な定義や定理の羅列が続きますが,その点はどうか許して欲しい所です.

最後を除く全ての定理は,証明なしに認めることにしています.

  • 1.孤立特異点
  • 2.有理型関数
    • Def.2.1 (有理型関数)
    • Th.2.2 (Liouvilleの定理)
    • Th.2.3 (広義の複素平面上の有理型関数)
  • 3.参考文献
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さんすうのーと(1)

早速ですが,「『さんすうのーと』とはなんぞや?」ってところの説明をさせてください.

僕がこのブログを始めたきっかけは,勉強したことを記事にまとめることでそれに対する理解を確かなものとし,さらにはそれを目標の1つにすることで学習意欲の向上を図るためです.

しかし,僕の理解力,文章力の無さも相まってか,数学の記事を一本まとめるのに想像以上の労力と時間を要し,なかなか記事を更新できていないのが現状です.

そこで,定理の証明等をきちんとまとめたりするのではなく,日ごろ勉強していてメモに残しておきたいと個人的に思ったこと,例えば定理の証明中で分かりにくかった箇所とかを短くまとめた記事を書いていくことにしました.

たぶん,さんすうのーとは半ば日記みたいなものになるかと思います.


9月の後半から,友達が進めてくれた内田さんの『集合と位相』を読んでます.

最近までずっと,集合位相の勉強をするなら松坂さんの『集合・位相入門』だけで十分だと思い込んでいたのですが,友達曰く「量の割に内容が薄い」とのことだったので,これはまずいと思い立って勧められた内田集合位相を図書館で借りたわけです.

確かに松坂集合位相には載ってないことが色々書かれていて,かつ内容がコンパクトにまとめられているので読みやすい感じがします.

ただ,初学者が内田集合位相だけを読むのは少々きつい気がするので,証明で分からないようなところは松坂集合位相を参考するのが良いのかなとは思います.

僕はそうしてます.

基本的な事項が丁寧に説明されているのが松坂集合位相の良いとこです(たぶん).


ということで,今回は開基と準開基について二度と忘れないように少しまとめてみます.

開基は分かりやすいんですけど,準開基はなかなか最初はすんなり頭に入って来なかったりします.

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複素解析ゼミノート(1) -一致の定理

次:有理関数と有理型関数

ただ今,絶賛夏休みを満喫中でございます.

そして,めっきりブログの更新頻度が減ってしまいました.

てへぺろ


9月に入って,ようやく成績が発表されました.

まぁ,何とも言えない感じの成績でしたね.

後期はむつかしい授業が多いっぽいので,気合入れて頑張っていきましょうね.

とりま,夏休みの間にLebesgue積分のお勉強頑張ります.


今回から,6月より始めた複素解析ゼミで学んだことを適当にまとめていこうかなと思います.

「今さら記事にすんのかい」と思われるかもですが,最初の方は別にまとめんでもええかなって感じです.

というより,まとめる暇がありませんでした…

ゼミで使用しているテキストは,笠原乾吉さんの『複素解析 1変数解析関数』です.

まさかの文庫本です.

文庫本にしては色々書かれています.

僕の数学力だと,しばしば行間を埋めるのに苦労しますね…


この複素解析ゼミノートは,上で紹介したテキストの内容に沿ってまとめていくつもりです.

ということで,第一回目はテキストp.41の一致の定理を紹介していきます.

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編入生わいによる,大学生活に関する雑感

ご無沙汰しております.

割と久しぶりのブログ更新になります.


いやね,ブログ書くの飽きたとかじゃないんすよ.

普通に書く暇がなかったんすよ.

日々の生活の中で「こういうの記事にしたら面白そうやな~」とか思うわけなんですが,なかなかどうして行動に移せないぽんこつわい…


そろそろ僕が阪大の編入試験を受けてから1年が経ちますね.

というか,この記事を公開した日(2017/07/11)は阪大基礎工の編入試験がある日なんですよね.

「基礎工に受かった子がこのくそブログを読んでくれねぇかな~」とか思ったり.

つい最近にも,神大理学部の編入試験があったそうな.

汗だくになりながら登山をしたあの時が懐かしい.

今となったら,府大に落ちたのも笑い話にできますねw




府大の不合格通知を受けた日のツイット




上の話を詳しく知りたい人は,僕の受験日記(全5回)を読んでくれると嬉しいです.

32-mathg.hatenablog.com
 
 
さて,今回は大学に編入してからこれまでの大学生活で感じた色んなことについて,適当にまとめていこうかなと思います.

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大学編入試験の過去問解説(5)-広義積分の収束判定

前回:大学編入試験の過去問解説(4)-ふとうしきとあそぼう

 
高専を卒業し,大学生活が始まってから早1ヶ月.

大学生活たーのしー!

ていうか

すうがくたーのしー!!!


とりあえず,今のとこ充実しまくってます.


そして現在GWを満喫中なんですが,なんと,

9  連  休

これが大学生の特権だというのか…


そしてそして,今月の13日には,初めてのロマ数@大阪に行ってきます!

romanticmathnight.org


もうわくわくが止まりません.



今回取り上げる問題は『解析概論』先輩から知恵を借りながら頑張って解いた問題になります.*1

色々と適当なところがありますが,まぁ参考程度に見てやってください.
 
 

(1) 空間上の直交座標 (x,y,z)極座標 (r,\theta , \phi )x=r \, \mathrm{sin} \, \theta \, \mathrm{cos} \, \varphi, \, y=r \, \mathrm{sin} \, \theta \, \mathrm{sin} \, \varphi, \, z=r \, \mathrm{cos} \, \theta \quad (r>0, \, 0 \le \theta \le \pi , \, 0 \le \varphi \le 2\pi )
に変換するとき,そのヤコビアンを計算しなさい.

(2) 広義積分

\displaystyle I( \alpha ) = \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{-(x^2 + y^2 + z^2)} }{(x^2 + y^2 + z^2)^\alpha} dx \, dy \, dz 

について,\alpha=\frac{1}{2} のときの値 I(\frac{1}{2}) を求めなさい.

(3) I(\alpha) が収束する \alpha の範囲を求めなさい.

(4) 広義積分

\displaystyle J( \alpha , \beta ) = \iiint_{B} \frac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^\alpha | \mathrm{log}(x^2 + y^2 + z^2) |} dx \, dy \, dz 

が収束するような \alpha,\beta の満たすべき条件を求めなさい.
ただし,B=\{ (x,y,z);x^2 + y^2 + z^2 < \frac{1}{4} \} .



(1),(2)は簡単なので解説は省略します.

問題は(3),(4)なんやで…


先に断わっておきますが,結構解答が長くなってしまいました.

一応,限られた時間内に解かないといけない編入試験問題なので,もっと簡単に解く方法があるんじゃないかと思ったり思わなかったりです.

このことを踏まえた上で,読んで頂ければ幸いです.
 

*1:『定本 解析概論』の定理36(p.115)からヒントをもらいました

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大学編入試験の過去問解説(4)-ふとうしきとあそぼう

前回:大学編入試験の過去問解説(3)-調和級数になりたかった級数


高専生活最後のテストを終え,そして卒研絡みのイベントもすべて終え,水を得た魚,スターを得たマ〇オのように元気を取り戻したさとぅーでございます.



イェェェェェエエエエエエエエェェエエエエエエエエエーーーーーーーーーーーーーイ!!!!!!!!



ごめん,これがやりたかっただけ.


そろそろ1つ下の後輩が進路関係でピリピリしだす頃ですな.

就活も受験勉強も頑張ってくれって感じですわ.


今回取り上げる問題はこちら.

(1) x>0 の範囲で3つの関数 f(x) = x-1, \, g(x) = \mathrm{log}\, x, \, h(x) = -\frac{1}{ex} を考える.
ただし,\mathrm{log}\, x は自然対数,e自然対数の底である.
すべての x>0 について,f(x) \ge g(x) \ge h(x) を示せ.
また,f(x) \ge g(x), \, g(x) \ge h(x) の2つの不等式それぞれについて,
等号の成立する x の値を求めよ.

(2) a_i > -1 \, (i=1, 2, 3, \cdots)を満たす任意の数列 {a_i} と任意の n に対して,

 \displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i) > -\frac{1}{e} \tag{i}

を示せ.ただし,\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i)n 個の実数 1+a_1, \cdots , 1+a_n をかけた数を表す.

(3) a_i = t \, (i=1, \cdots , n, \, t>-1) のとき,
\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i) を最小にする t の値と最小値を n を用いて表せ.

(4) 不等式(i)において,右辺の  -\frac{1}{e} をより大きな数(n によらない)に変えても,
a_i > -1 \, (i=1,2,3,\cdots) を満たす任意の数列 {a_i} と任意の n に対して,
この不等式が成立するか,理由をつけて答えよ.

 

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閉集合の補集合は開集合

昨年の夏から友達と『多様体の基礎』を使って多様体の勉強会を開いているのですが,勉強会を始めてから間もなく,p.10の演習問題に苦しめられていました.
 

U\mathbb{R}^mの開集合のとき \mathbb{R}^m -U\mathbb{R}^m閉集合である.
また,C\mathbb{R}^m閉集合なら,\mathbb{R}^m -C\mathbb{R}^mの開集合である.
これを証明せよ.

 
前者の証明は本の巻末に載っていて,それを読んで理解したのですが,肝心の後者の証明は数学書お得意の「同様にして示される」で済まされていました.

その言葉を信じて自力で証明しようとしてみたら案外できず,小一時間話し合っても解決に至りませんでした…


そして最近,位相について手軽に勉強したくて,個人的に好きな30講シリーズの『位相への30講』を読んでました.すると, \mathbb{R}^2の開集合の補集合は閉集合であることの簡単な証明が書かれていました.

「これはもしかして,前に分からなかった閉集合の補集合が開集合であることの証明のヒントが載ってるんじゃないか?」

そんな淡い期待を持ちつつ読み進めていくと,とうとうその説明文に差し掛かりました.


「この証明はここでは省略しよう.」


…分かったよ.証明すればええんやろ!?やってやるよボケが!!!

軽く頭にきた僕はリベンジを果たすべく証明を考えました.

すると,思いのほか普通にできちゃいました.


くそ悩んでたあの時間は一体なんだったのか.


今回は,その思いついた証明を忘れないようにここでまとめておきます.
 

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