さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。

さんすうのーと(5) ―Dynkinのπ-λ定理

前回:上極限・下極限


今回は,測度論でよく使われるめっちゃ便利な定理を紹介しようと思います.

測度論にある程度慣れている方は,次のような論法をよく目にすると思います:

  1.  \sigma [ \mathcal{A} ] \subset \mathcal{B} を示したい.
  2.  \mathcal{A} \subset \mathcal{B} を示す.
  3.  \mathcal{B} がσ加法族であることを示す.
  4. めでたく \sigma [ \mathcal{A} ] \subset \mathcal{B} が分かる.

特に,命題 P(A) が任意の A \in \sigma [ \mathcal{A} ] に対して成り立つことを示すために, \mathcal{B} := \{ B \in \sigma [ \mathcal{A} ] ~;~ P(B)が成り立つ \} とおいて  \sigma [ \mathcal{A} ] \subset \mathcal{B} を示すという論法をとることがよくあります.


しかしながら,上で定めた \mathcal{B} がσ加法族であることを示すのが難しい,またはできないことがしばしばあります.

そこで活躍するのがπ-λ定理です(Dynkin族定理とも呼ばれます).

簡単に言ってしまえば,「\mathcal{A}が多少の条件を満たすことを求める代わりに,\mathcal{B} がσ加法族よりも弱い条件を満たすことを確かめるだけで  \sigma [ \mathcal{A} ] \subset \mathcal{B} となることを保証してくれる」定理です.


というわけで,π-λ定理の紹介をしていこうと思うのですが,今回からHackMDというMarkdownエディタを利用してみようと思います.

はてなブログに直接数式を載せるの思ったより大変なので…

その点,HackMDはリアルタイムでプレビューが更新されるので,数式の編集とかが楽なんすよね~(ステマ)

このリンクからHackMDでまとめた記事を閲覧することができます.

もちろん編集はできないようになってますので,何か気になる点がございましたら直接僕に言っていただけると幸いです.

さんすうのーと(4) ―上極限・下極限

前回:上限・下限



前回は上限・下限についてまとめたのですが,せっかくなので,今回は前回の続きとして上極限・下極限についてもまとめてみます.

上限・下限がよく分かってない方は,前回の記事と合わせて読んで頂けるとよいのではないかと思います↓

32-mathg.hatenablog.com



「数列の上極限と下極限が一致したら,その数列は収束していて極限が上極限(下極限)に等しい」ということを知ってる人は少なくないと思います.

これを利用して数列の収束判定をするのが常套手段ですよね.


とりあえず,上極限・下極限の定義を思い出してみましょう.*1

Def. (上極限・下極限)

実数列 \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} の上極限  \varlimsup_{n \to \infty} a_n,下極限 \varliminf_{n \to \infty} a_n を次のように定義する:
 \displaystyle
\varlimsup_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} a_k, \quad \varliminf_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} a_k
ここで,\sup_{k \ge n} a_k, \, \inf_{k \ge n} a_k はそれぞれ n について単調減少,単調増加な数列なので, 極限として  \pm \infty の値をとることも許せば,必ず上極限・下極限は存在する.

 
ここで,一つ気になることがあります.

この定義を見て上極限・下極限それ自体が一体どういうものなのか,イメージがつく人はどれほどいるのでしょうか?

特に,「上極限=下極限」となる状況というのは具体的にどういう状況なのか,気になったことはありませんか?


今回はこの疑問に答える形で上極限・下極限の持つ性質についてまとめてみたいと思います.

*1:杉浦『解析入門Ⅰ』の定義を採用

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確率論嫌いマンだったわいが確率論を好きになったという話

かなりお久しぶりの更新になります.

ようやく院試が終わったので,ブログの更新を頑張って再開していこうと思います.

思うだけにならないように頑張ります,えぇ.


今回は,僕が確率論に興味を持つまでのいきさつ的な何かをまとめていこうかと思います.

僕は学部3年の後期から本格的に確率論の勉強を始め,現在も絶賛猛烈勉強中であります.

しかし,それ以前の僕は確率論に対してすごい苦手意識があり,あまり好きになれませんでした.

その理由は下の方で詳しく話していくつもりですが,端的に言ってしまえば「確率論がインチキくさく感じた」からです.

(めっちゃ悪口になってしまったんですけど,どうかお許しを.)

そして,過去の自分と同じような思いを持つ人が一定数いるような気がしたので,そういう人たちに向けてこの記事を書こうと思い至りました.


まず,大前提として言っておかないといけないことがあります.

それは,僕は元高専生で,大学に3年次編入した学生であるということです.

高専時代は,大学に入ってからと比べると全然数学の勉強できていなかったので,それも大きな原因の一つであったと思います.

学部一年から大学で数学の講義をとっていたら少しは人生変わってたのかなと思わなくもないですけど,まぁ思うだけ無駄ですよね.

それを頭に入れて以下の記事を読んで頂けると幸いです.


確率論が苦手になった高専時代


高専1,2年の頃は,高校でも習う順列,組み合わせなどに関する事柄を習ったような気がします(ほとんど覚えていない).

その当時に解いていた問題といえば,「~となる場合は何通りあるか」とか,「~が起こる確率を求めよ」といったような問題ばかりだったと記憶しています.

その時から,僕の苦手意識は芽生え始めました.

順列と組み合わせの違いは理解していたつもりなのですが,ちょっとした応用問題を解くときになると,「なぜ答えがそうなるのか?」と言いたくなるような場面にたくさん出くわしました.

例えば,「~となる場合は何通りあるか」といったタイプの問題では,順列と組み合わせのどちらが用いられるかを見極めなければなりません.

袋の中から「同時に」球を2つ取りだしたときは,それは組み合わせの問題となる,といった具合です.

簡単な問題だとそういった使い分けは納得できたのですが,すこし難しい問題になると,答えを見たときに「なんで!?確かにその解釈は分かるけど,僕の解釈だって間違ってないと思います!!ぷんぷん!!」と思ってしまうことが少なくありませんでした.


かつて確率論に対して感じていたインチキくささは,この時から抱き始めたのかもしれません.


これらにまつわる問題は,小針先生の『確率・統計入門』に,1番最初の方で分かりやすく取り上げられていた気がします.

中学でも習うような「同様に確からしい」とは一体どういうことかについて,例を挙げながら説明している所はすごく印象に残っています.

果たして,「同様に確からしい」の意味をきちんと説明してくれる中学,高校の先生がどれほどいるのでしょうかね.

小針先生の本は実の所ちゃんと読めていないので,近いうちに絶対読み直したいですね.

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さんすうのーと(3) ―上限・下限

前回:連続写像


測度論の授業で『Real and Complex Analysis』の2章に出てくるRisezの表現定理の証明を追っていたのですが,その証明中で上限・下限が地味に活躍するのです.

そんでもって,お恥ずかしながら今年の1月頃になってようやく上限・下限がきちんと理解できたというか,上限・下限の持つ性質の大切さが分かってきました.

大学に編入した当初も上限・下限の定義はもちろん知っていて,ある程度のイメージも掴んでいたのですが,今思い返してみると「全然分かってなかったなぁ…」といった感じです.


というわけで,今回は上限・下限の持つ有用な性質についてまとめていきます.

念のため,上限・下限の定義を確認しておきます.

今回は実数体に限って話を進めますが,Prop. 1については一般に全順序集合において同様の議論が可能です.

Def. (上限・下限)

空でない集合  A \subset \mathbb{R} について,A の上界全体の集合に最小元が存在するとき,
その最小元を A の上限といい, \mathrm{sup} A と表記する.

また,A の下界全体の集合に最大元が存在するとき,その最大元を A の下限といい,
 \mathrm{inf} A と表記する. \square

 
この最小性・最大性から導かれる次の命題は簡単ですが,非常に有用です.

Prop. 1

 s \in \mathbb{R} が空でない集合  A \subset \mathbb{R} の上限となるため必要十分条件は
次の(1),(2)を満たすことである:

(1) 任意の a \in A に対して, a \le s となる.
(2) 任意の x < s なる x \in \mathbb{R} に対して, x < a となる a \in A が存在する.

また, t \in \mathbb{R} A \subset \mathbb{R} の下限となるため必要十分条件は
次の(1'),(2')を満たすことである:

(1') 任意の a \in A に対して, a \ge t となる.
(2') 任意の x > t なる x \in \mathbb{R} に対して, x > a となる a \in A が存在する.

 
(1)は sA の上界となっていることを言っており,(2)は s より「少しでも」小さい数を持ってくると,それは絶対に A の上界とならないことを言っています.

「そりゃそうやろ」といった感じもしますが,s \in \mathbb{R} が(1),(2)さえ満たせば必ず s = \mathrm{sup} A となることはあまり自明にも思えないので,1度くらいはきちんと示して確認した方がいいでしょう.

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さんすうのーと(2) ―連続写像

前回:開基・準開基


とうとう1年が終わってしまいますね…

今年の春に大学へ編入し,ようやく数学に没頭できる環境に身を置くことができ,お陰様で(特に数学の面において)大きく成長できた年なんじゃないかと思います.

同時に,自分の無学さを思い知る機会も多くあったので,まだまだこれからといった感じですね.


そんなわけで今回は,距離空間上の連続写像に関する重要な命題を取り上げようと思います.


解析学の授業で,ε-δ論法による連続関数の定義を学んだ方は多いと思います.

距離空間におけるの連続写像も同様に定義されるのですが,その定義と同値な命題が色々と存在します.

そして,今回取り上げる同値な命題には「距離」を用いた表現が一切含まれておりません.

つまり,その命題の中では距離関数を用いていないということです.


「距離関数を用いていない」という所が大変重要であり,より一般の位相空間上に連続写像の概念を拡張することができます.

位相空間には「近さ」の概念はあるものの,距離空間のように「近さ」を数値化することができません.

なので,位相空間上に連続写像の概念を拡張する上で,ε-δ論法による定義じゃいかんわけです.


動機づけはこれくらいにして,本題に移っていきましょうね.

Def. (距離空間上の連続写像)

 (X, d_X), (Y, d_Y)距離空間とする.このとき,写像 f \colon X \to Y が点 x_0 \in X で連続であるとは,

\displaystyle \tag{a} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, [x \in B(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in B(f(x_0); \varepsilon)] 

が成り立つことをいう.そして,上記f が任意の点で連続であるとき,f連続写像という.\square

 
上の(a)は次のように書き換えることができ,下の表現の方が便利です:


 \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, f(B(x_0; \delta)) \subset B(f(x_0); \varepsilon)

 \displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, B(x_0; \delta) \subset f^{-1}(B(f(x_0); \varepsilon))

 

Prop.
(上の定義中の設定を引き継ぐ.)

 f連続写像である.
     \Leftrightarrow 任意の Y の開集合 O に対し, f^{-1}(O)X の開集合となる. \square

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油断してると地獄を見ることになる3年後期

以前,3年前期の大学生活がどんな感じかを記事にまとめました.

32-mathg.hatenablog.com

今回は3年後期の授業がどんな感じかをまとめようと思うわけですが,主に感じたことは次の三つです.

  • 後期の方が授業の内容は面白い(楽とは言ってない)
  • ゼミ(形式の授業)が楽しい
  • 課題(特にRの課題)がしんどい


後期の授業の目玉は,何と言っても測度論だと思います.

ただ,3年後期が始まるまでに集合位相の勉強をろくにしなかった人は,確実に最初は躓きます.

かなりの努力をしないとついていけないでしょう.

さらに,距離空間に関する講義である基礎数理Bという授業が2年の後期に開講されるのですが,数理の編入生はそれを受けずに測度論の授業を受けることになります.

ろくに自習をしてこなかった編入生は測度論の授業はもちろん,基礎数理Bおよびその演習科目でも苦しい思いをするかもしれません.

まさに地獄 of 地獄です.

そんなわけで,数理科学コースに編入をお考えの皆さん,悪いことは言いません.

集合位相の勉強をしましょう.

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複素解析ゼミノート(2) ―有理関数と有理型関数

前回:一致の定理


最近,阪ゼミの集会で複素解析ゼミの進捗報告をする機会を頂きました.

そこで発表した内容の原稿をMarkdownでまとめていたので,それをほぼそのままこっちに載せることにしました.

内容は,有理関数とその一般化である有理型関数とを結びつける定理についてです.

有理型関数は一般的に有理関数とはなりませんが,広義の複素平面上の有理型関数を考えると,それは必ず有理関数になっているという定理です.

前半ではその定理の証明に必要な定義や定理の羅列が続きますが,その点はどうか許して欲しい所です.

最後を除く全ての定理は,証明なしに認めることにしています.

  • 1.孤立特異点
  • 2.有理型関数
    • Def.2.1 (有理型関数)
    • Th.2.2 (Liouvilleの定理)
    • Th.2.3 (広義の複素平面上の有理型関数)
  • 3.参考文献
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