さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。勉強したことや趣味について適当に綴っていきます。

さんすうのーと(3) ―上限・下限

前回:連続写像


測度論の授業で『Real and Complex Analysis』の2章に出てくるRisezの表現定理の証明を追っていたのですが,その証明中で上限・下限が地味に活躍するのです.

そんでもって,お恥ずかしながら今年の1月頃になってようやく上限・下限がきちんと理解できたというか,上限・下限の持つ性質の大切さが分かってきました.

大学に編入した当初も上限・下限の定義はもちろん知っていて,ある程度のイメージも掴んでいたのですが,今思い返してみると「全然分かってなかったなぁ…」といった感じです.


というわけで,今回は上限・下限の持つ有用な性質についてまとめていきます.

念のため,上限・下限の定義を確認しておきます.

今回は実数体に限って話を進めますが,Prop. 1については一般に全順序集合において同様の議論が可能です.

Def. (上限・下限)

空でない集合  A \subset \mathbb{R} について,A の上界全体の集合に最小元が存在するとき,
その最小元を A の上限といい, \mathrm{sup} A と表記する.

また,A の下界全体の集合に最大元が存在するとき,その最大元を A の下限といい,
 \mathrm{inf} A と表記する. \square

 
この最小性・最大性から導かれる次の命題は簡単ですが,非常に有用です.

Prop. 1

 s \in \mathbb{R} が空でない集合  A \subset \mathbb{R} の上限となるため必要十分条件は
次の(1),(2)を満たすことである:

(1) 任意の a \in A に対して, a \le s となる.
(2) 任意の x < s なる x \in \mathbb{R} に対して, x < a となる a \in A が存在する.

また, t \in \mathbb{R} A \subset \mathbb{R} の下限となるため必要十分条件は
次の(1'),(2')を満たすことである:

(1') 任意の a \in A に対して, a \ge t となる.
(2') 任意の x > t なる x \in \mathbb{R} に対して, x > a となる a \in A が存在する.

 
(1)は sA の上界となっていることを言っており,(2)は s より「少しでも」小さい数を持ってくると,それは絶対に A の上界とならないことを言っています.

「そりゃそうやろ」といった感じもしますが,s \in \mathbb{R} が(1),(2)さえ満たせば必ず s = \mathrm{sup} A となることはあまり自明にも思えないので,1度くらいはきちんと示して確認した方がいいでしょう.

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さんすうのーと(2) ―連続写像

前回:開基・準開基


とうとう1年が終わってしまいますね…

今年の春に大学へ編入し,ようやく数学に没頭できる環境に身を置くことができ,お陰様で(特に数学の面において)大きく成長できた年なんじゃないかと思います.

同時に,自分の無学さを思い知る機会も多くあったので,まだまだこれからといった感じですね.


そんなわけで今回は,距離空間上の連続写像に関する重要な命題を取り上げようと思います.


解析学の授業で,ε-δ論法による連続関数の定義を学んだ方は多いと思います.

距離空間におけるの連続写像も同様に定義されるのですが,その定義と同値な命題が色々と存在します.

そして,今回取り上げる同値な命題には「距離」を用いた表現が一切含まれておりません.

つまり,その命題の中では距離関数を用いていないということです.


「距離関数を用いていない」という所が大変重要であり,より一般の位相空間上に連続写像の概念を拡張することができます.

位相空間には「近さ」の概念はあるものの,距離空間のように「近さ」を数値化することができません.

なので,位相空間上に連続写像の概念を拡張する上で,ε-δ論法による定義じゃいかんわけです.


動機づけはこれくらいにして,本題に移っていきましょうね.

Def. (距離空間上の連続写像)

 (X, d_X), (Y, d_Y)距離空間とする.このとき,写像 f \colon X \to Y が点 x_0 \in X で連続であるとは,

\displaystyle \tag{a} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, [x \in B(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in B(f(x_0); \varepsilon)] 

が成り立つことをいう.そして,上記f が任意の点で連続であるとき,f連続写像という.\square

 
上の(a)は次のように書き換えることができ,下の表現の方が便利です:


 \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, f(B(x_0; \delta)) \subset B(f(x_0); \varepsilon)

 \displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, B(x_0; \delta) \subset f^{-1}(B(f(x_0); \varepsilon))

 

Prop.
(上の定義中の設定を引き継ぐ.)

 f連続写像である.
     \Leftrightarrow 任意の Y の開集合 O に対し, f^{-1}(O)X の開集合となる. \square

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油断してると地獄を見ることになる3年後期

以前,3年前期の大学生活がどんな感じかを記事にまとめました.

32-mathg.hatenablog.com

今回は3年後期の授業がどんな感じかをまとめようと思うわけですが,主に感じたことは次の三つです.

  • 後期の方が授業の内容は面白い(楽とは言ってない)
  • ゼミ(形式の授業)が楽しい
  • 課題(特にRの課題)がしんどい


後期の授業の目玉は,何と言っても測度論だと思います.

ただ,3年後期が始まるまでに集合位相の勉強をろくにしなかった人は,確実に最初は躓きます.

かなりの努力をしないとついていけないでしょう.

さらに,距離空間に関する講義である基礎数理Bという授業が2年の後期に開講されるのですが,数理の編入生はそれを受けずに測度論の授業を受けることになります.

ろくに自習をしてこなかった編入生は測度論の授業はもちろん,基礎数理Bおよびその演習科目でも苦しい思いをするかもしれません.

まさに地獄 of 地獄です.

そんなわけで,数理科学コースに編入をお考えの皆さん,悪いことは言いません.

集合位相の勉強をしましょう.

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複素解析ゼミノート(2) ―有理関数と有理型関数

前回:一致の定理


最近,阪ゼミの集会で複素解析ゼミの進捗報告をする機会を頂きました.

そこで発表した内容の原稿をMarkdownでまとめていたので,それをほぼそのままこっちに載せることにしました.

内容は,有理関数とその一般化である有理型関数とを結びつける定理についてです.

有理型関数は一般的に有理関数とはなりませんが,広義の複素平面上の有理型関数を考えると,それは必ず有理関数になっているという定理です.

前半ではその定理の証明に必要な定義や定理の羅列が続きますが,その点はどうか許して欲しい所です.

最後を除く全ての定理は,証明なしに認めることにしています.

  • 1.孤立特異点
  • 2.有理型関数
    • Def.2.1 (有理型関数)
    • Th.2.2 (Liouvilleの定理)
    • Th.2.3 (広義の複素平面上の有理型関数)
  • 3.参考文献
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さんすうのーと(1) ―開基・準開基

早速ですが,「『さんすうのーと』とはなんぞや?」ってところの説明をさせてください.

僕がこのブログを始めたきっかけは,勉強したことを記事にまとめることでそれに対する理解を確かなものとし,さらにはそれを目標の1つにすることで学習意欲の向上を図るためです.

しかし,僕の理解力,文章力の無さも相まってか,数学の記事を一本まとめるのに想像以上の労力と時間を要し,なかなか記事を更新できていないのが現状です.

そこで,定理の証明等をきちんとまとめたりするのではなく,日ごろ勉強していてメモに残しておきたいと個人的に思ったこと,例えば定理の証明中で分かりにくかった箇所とかを短くまとめた記事を書いていくことにしました.

たぶん,さんすうのーとは半ば日記みたいなものになるかと思います.


9月の後半から,友達が進めてくれた内田さんの『集合と位相』を読んでます.

最近までずっと,集合位相の勉強をするなら松坂さんの『集合・位相入門』だけで十分だと思い込んでいたのですが,友達曰く「量の割に内容が薄い」とのことだったので,これはまずいと思い立って勧められた内田集合位相を図書館で借りたわけです.

確かに松坂集合位相には載ってないことが色々書かれていて,かつ内容がコンパクトにまとめられているので読みやすい感じがします.

ただ,初学者が内田集合位相だけを読むのは少々きつい気がするので,証明で分からないようなところは松坂集合位相を参考するのが良いのかなとは思います.

僕はそうしてます.

基本的な事項が丁寧に説明されているのが松坂集合位相の良いとこです(たぶん).


ということで,今回は開基と準開基について二度と忘れないように少しまとめてみます.

開基は分かりやすいんですけど,準開基はなかなか最初はすんなり頭に入って来なかったりします.

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複素解析ゼミノート(1) -一致の定理

ただ今,絶賛夏休みを満喫中でございます.

そして,めっきりブログの更新頻度が減ってしまいました.

てへぺろ


9月に入って,ようやく成績が発表されました.

まぁ,何とも言えない感じの成績でしたね.

後期はむつかしい授業が多いっぽいので,気合入れて頑張っていきましょうね.

とりま,夏休みの間にLebesgue積分のお勉強頑張ります.


今回から,6月より始めた複素解析ゼミで学んだことを適当にまとめていこうかなと思います.

「今さら記事にすんのかい」と思われるかもですが,最初の方は別にまとめんでもええかなって感じです.

というより,まとめる暇がありませんでした…

ゼミで使用しているテキストは,笠原乾吉さんの『複素解析 1変数解析関数』です.

まさかの文庫本です.

文庫本にしては色々書かれています.

僕の数学力だと,しばしば行間を埋めるのに苦労しますね…


この複素解析ゼミノートは,上で紹介したテキストの内容に沿ってまとめていくつもりです.

ということで,第一回目はテキストp.41の一致の定理を紹介していきます.

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編入生わいによる,大学生活に関する雑感

ご無沙汰しております.

割と久しぶりのブログ更新になります.


いやね,ブログ書くの飽きたとかじゃないんすよ.

普通に書く暇がなかったんすよ.

日々の生活の中で「こういうの記事にしたら面白そうやな~」とか思うわけなんですが,なかなかどうして行動に移せないぽんこつわい…


そろそろ僕が阪大の編入試験を受けてから1年が経ちますね.

というか,この記事を公開した日(2017/07/11)は阪大基礎工の編入試験がある日なんですよね.

「基礎工に受かった子がこのくそブログを読んでくれねぇかな~」とか思ったり.

つい最近にも,神大理学部の編入試験があったそうな.

汗だくになりながら登山をしたあの時が懐かしい.

今となったら,府大に落ちたのも笑い話にできますねw




府大の不合格通知を受けた日のツイット




上の話を詳しく知りたい人は,僕の受験日記(全5回)を読んでくれると嬉しいです.

32-mathg.hatenablog.com
 
 
さて,今回は大学に編入してからこれまでの大学生活で感じた色んなことについて,適当にまとめていこうかなと思います.

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