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さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。勉強したことや趣味について適当に綴っていきます。

大学編入試験の過去問解説(5)-広義積分の収束判定

前回:大学編入試験の過去問解説(4)-ふとうしきとあそぼう

 
高専を卒業し,大学生活が始まってから早1ヶ月.

大学生活たーのしー!

ていうか

すうがくたーのしー!!!


とりあえず,今のとこ充実しまくってます.


そして現在GWを満喫中なんですが,なんと,

9  連  休

これが大学生の特権だというのか…


そしてそして,今月の13日には,初めてのロマ数@大阪に行ってきます!

romanticmathnight.org


もうわくわくが止まりません.



今回取り上げる問題は『解析概論』先輩から知恵を借りながら頑張って解いた問題になります.*1

色々と適当なところがありますが,まぁ参考程度に見てやってください.
 
 

(1) 空間上の直交座標 (x,y,z)極座標 (r,\theta , \phi )x=r \, \mathrm{sin} \, \theta \, \mathrm{cos} \, \varphi, \, y=r \, \mathrm{sin} \, \theta \, \mathrm{sin} \, \varphi, \, z=r \, \mathrm{cos} \, \theta \quad (r>0, \, 0 \le \theta \le \pi , \, 0 \le \varphi \le 2\pi )
に変換するとき,そのヤコビアンを計算しなさい.

(2) 広義積分

\displaystyle I( \alpha ) = \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{-(x^2 + y^2 + z^2)} }{(x^2 + y^2 + z^2)^\alpha} dx \, dy \, dz 

について,\alpha=\frac{1}{2} のときの値 I(\frac{1}{2}) を求めなさい.

(3) I(\alpha) が収束する \alpha の範囲を求めなさい.

(4) 広義積分

\displaystyle J( \alpha , \beta ) = \iiint_{B} \frac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^\alpha | \mathrm{log}(x^2 + y^2 + z^2) |} dx \, dy \, dz 

が収束するような \alpha,\beta の満たすべき条件を求めなさい.
ただし,B=\{ (x,y,z);x^2 + y^2 + z^2 < \frac{1}{4} \} .



(1),(2)は簡単なので解説は省略します.

問題は(3),(4)なんやで…


先に断わっておきますが,結構解答が長くなってしまいました.

一応,限られた時間内に解かないといけない編入試験問題なので,もっと簡単に解く方法があるんじゃないかと思ったり思わなかったりです.

このことを踏まえた上で,読んで頂ければ幸いです.
 

*1:『定本 解析概論』の定理36(p.115)からヒントをもらいました

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大学編入試験の過去問解説(4)-ふとうしきとあそぼう

前回:大学編入試験の過去問解説(3)-調和級数になりたかった級数


高専生活最後のテストを終え,そして卒研絡みのイベントもすべて終え,水を得た魚,スターを得たマ〇オのように元気を取り戻したさとぅーでございます.



イェェェェェエエエエエエエエェェエエエエエエエエエーーーーーーーーーーーーーイ!!!!!!!!



ごめん,これがやりたかっただけ.


そろそろ1つ下の後輩が進路関係でピリピリしだす頃ですな.

就活も受験勉強も頑張ってくれって感じですわ.


今回取り上げる問題はこちら.

(1) x>0 の範囲で3つの関数 f(x) = x-1, \, g(x) = \mathrm{log}\, x, \, h(x) = -\frac{1}{ex} を考える.
ただし,\mathrm{log}\, x は自然対数,e自然対数の底である.
すべての x>0 について,f(x) \ge g(x) \ge h(x) を示せ.
また,f(x) \ge g(x), \, g(x) \ge h(x) の2つの不等式それぞれについて,
等号の成立する x の値を求めよ.

(2) a_i > -1 \, (i=1, 2, 3, \cdots)を満たす任意の数列 {a_i} と任意の n に対して,

 \displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i) > -\frac{1}{e} \tag{i}

を示せ.ただし,\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i)n 個の実数 1+a_1, \cdots , 1+a_n をかけた数を表す.

(3) a_i = t \, (i=1, \cdots , n, \, t>-1) のとき,
\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i) を最小にする t の値と最小値を n を用いて表せ.

(4) 不等式(i)において,右辺の  -\frac{1}{e} をより大きな数(n によらない)に変えても,
a_i > -1 \, (i=1,2,3,\cdots) を満たす任意の数列 {a_i} と任意の n に対して,
この不等式が成立するか,理由をつけて答えよ.

 

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『多様体の基礎』を読む(1)-閉集合の補集合は開集合

昨年の夏から友達と『多様体の基礎』を使って多様体の勉強会を開いているのですが,勉強会を始めてから間もなく,p.10の演習問題に苦しめられていました.
 

U\mathbb{R}^mの開集合のとき \mathbb{R}^m -U\mathbb{R}^m閉集合である.
また,C\mathbb{R}^m閉集合なら,\mathbb{R}^m -C\mathbb{R}^mの開集合である.
これを証明せよ.

 
前者の証明は本の巻末に載っていて,それを読んで理解したのですが,肝心の後者の証明は数学書お得意の「同様にして示される」で済まされていました.

その言葉を信じて自力で証明しようとしてみたら案外できず,小一時間話し合っても解決に至りませんでした…


そして最近,位相について手軽に勉強したくて,個人的に好きな30講シリーズの『位相への30講』を読んでました.すると, \mathbb{R}^2の開集合の補集合は閉集合であることの簡単な証明が書かれていました.

「これはもしかして,前に分からなかった閉集合の補集合が開集合であることの証明のヒントが載ってるんじゃないか?」

そんな淡い期待を持ちつつ読み進めていくと,とうとうその説明文に差し掛かりました.


「この証明はここでは省略しよう.」


…分かったよ.証明すればええんやろ!?やってやるよボケが!!!

軽く頭にきた僕はリベンジを果たすべく証明を考えました.

すると,思いのほか普通にできちゃいました.


くそ悩んでたあの時間は一体なんだったのか.


今回は,その思いついた証明を忘れないようにここでまとめておきます.
 

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年明けた実感ないけど新年のご挨拶

なんか,卒論でひぃひぃ言ってたら気づかないうちに2016年終わっちゃってました.


ということで…


新年明けましておめでとうございます.



昨年はなかなか濃密な1年だったんじゃないかと思います.

噂で5年生はそんなに忙しくないとお聞きしたような気がするのですが,全然そんなことはなかったですね…

受験勉強に始まり,受験が終わった夏休みからは卒研に追われ,秋は卒研に追われながらも高専祭の準備を頑張り,冬に入ってすぐ学外発表の準備に追われ,そして現在進行形で卒論にいじめられてます…


いやー,楽しかったねぇ.誰がなんと言おうと楽しかった.

今になってみるとそう思えます.

心残りがあるとすれば,もっと数学を勉強する時間が欲しかったけど,それは大学に進学してからのお楽しみということで.


今年の春からとうとう大学生になれるということで,わくわくと不安が入り混じっております.

つらいこともたくさんあると思うけど,そう簡単に僕はくじけませんので,どんと来いって感じです.



さてさて,このブログですが,最近数学の記事を出していませんねぇ~

怠惰ですねぇ~

このように怠惰な私ですが,卒論が一段落してから数学の記事を出そうと企んでいるので,しばしお待ちを.

(果たして,待ってくれている人なんているのだろうか.)



今年はさんすうマンとして,飛躍の年にしたいなぁと思ってます.

こんな私を,今後ともどうぞよろしくお願いします.



あ,ちなみにアイキャッチ画像にしている下のこいつなんですけど,これは僕が考えた鶏のイラストですね.

分かる人には分かると思いますけど,理系大好きギリシャ文字のみで描いてみましたw

今年は酉年ということで,年賀状用に描くキャラ考えてたらこんなものを思いついちゃいました.

f:id:mathg-32:20161231124451j:plain



それでは,みなさん良いお年を!

進捗をください

もう12月ですね.

残りの高専生活もあと4か月ないんやね…

ついこないだも高専生活最後の高専祭を迎えたし,だんだんエモみが増していく…

それ以上に大学生活が楽しみでもあるんやけども.


「時間が過ぎていくのは早いなぁ…」

と思いきや,まだ終わってから半年も経ってないのに大学編入の受験勉強を頑張ってたあの頃が遠い昔のよう感じたりもする…


もうこれ分かんねぇな.


そんなことより,高専生活が終わりそうということは…

そうです,そうなんです.



卒研もいよいよ大詰めなんです.



今現在,後期中間テストまっただ中なんですが,テストがどうとか言ってられないっす.

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大学編入試験の過去問解説(3)-調和級数になりたかった級数

前回:大学編入試験の過去問解説(2)-仲間外れにするかしないか


どうも,日々の多忙に疲労困憊中のさとぅーです.


11月の第二週に控えた高専祭(文化祭)の準備を頑張らなあかんし…

高専祭前にはひっさしぶりのライブを控えてるし…

12月に控える大きな展示会に向けて卒研進めなあかんし…

でも高専祭後には定期テストが控えてるし…

そろそろ卒論書き始めなあかんし…

でも先生は謎に授業の課題を出してくるし…

そういやTOEICに向けて英語の勉強せなあかんし…

えとせとらえとせとら…



高専5年生って,こんなにも忙しいものなんすか(ブチギレ



こんなこと言ったら僕より忙しい人に怒られそうですけど,しんどいもんはしんどいししゃーない.

「忙しいとかほざくんやったらブログ書いてないでタスクを減らせやボケ」という声が聞こえてきそうですが,自分の勉強にもなるんで,最低でも月1でブログは更新したいっすよね.


そういや,わが弟が今週末に大学入試を控えてるそうです.

僕が見る限り「本当にやる気あんのか?」って感じですけど,大丈夫ですかね…


これを見ている受験生は,さぼらず勉強頑張ってくださいね(はぁと

(今更言ってももう遅い人もおるかもしれんけど)



今回取りあげる問題は,みんな大好き調和級数の発展問題です.

個人的に面白いと感じた問題ですね.

(1)級数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} は発散することを示せ.

(2)m 桁の自然数のうちで,0 の文字が入らないものの個数を答えよ.
例えば m=3 のときなら, 111, 112, 113, \dots , 119, 121, \dots , 999 の個数で,9^3 である.

(3) (1)の和から n0 の文字が入った項,例えば,\frac{1}{10},\frac{1}{20}, \dots ,\frac{1}{100}, \frac{1}{101}, \dots
などを抜いた級数S とする.すなわち,

 \displaystyle S = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{19} + \frac{1}{21} + \cdots

このとき,S は収束することを示せ.

 

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大学編入試験の過去問解説(2)-仲間外れにするかしないか

前回:大学編入試験の過去問解説(1)-行列の固有値


あ~だりぃ~ブログ書くのだりぃ~

勝手に金入ってこねぇかなぁ~~~~~



あ,どうもみなさんこんにちは.

いかがお過ごしでしょうか.


意識の高い受験生はそろそろ過去問を解き始めている頃なのかね~



ちなみに,僕は受験が無事終わったって言うのに,卒研やらなんやらで息をつく暇がありません.



同情なんて要りません.

同情する暇があるなら金をくれってんだ.



そういや,最近ごちうさカフェでぴょんぴょんしてきましたよ^~

残りの高専生活を乗り切る活力をもらえた気がしました.

おそらく,気がしただけですが.



話が逸れてすんません.

そろそろ今回取り上げる問題を見ていきましょう.


n自然数kn 以下の自然数とする.n 人の学生が k 個のグループに分かれ,
各グループで円上に並ぶときの並び方の総数を S(n,k) と表す.ただし,各グループは
1名以上の学生を含むものとする.

(1)省略

(2)S(n,k)=(n-1)S(n-1,k)+S(n-1,k-1) が成立することを示せ.
ただし,S(0,0)=1,各 i \, (i \ge 1) に対して S(i,0)=0 とし,
任意の i,j \, (i < j) に対して S(i,j)=0 とする.

(3)H_n \displaystyle H_n= \frac{S(n+1,2)}{n!}

とする.H_nn を用いて表せ.

(4)設問(3)の H_n が,任意の自然数 n \, (n \ge 1) に対して,

 \displaystyle \frac{\lfloor \mathrm{log}_2 \, n \rfloor + 1}{2} < H_n \le \lfloor \mathrm{log}_2 \, n \rfloor + 1 

を満たすことを示せ.ただし,\lfloor x \rfloorx 以下の最大の整数を表すものとする.

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