さとぅーの寝言

睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。

さんすうのーと(3) ―上限・下限

前回:連続写像


測度論の授業で『Real and Complex Analysis』の2章に出てくるRisezの表現定理の証明を追っていたのですが,その証明中で上限・下限が地味に活躍するのです.

そんでもって,お恥ずかしながら今年の1月頃になってようやく上限・下限がきちんと理解できたというか,上限・下限の持つ性質の大切さが分かってきました.

大学に編入した当初も上限・下限の定義はもちろん知っていて,ある程度のイメージも掴んでいたのですが,今思い返してみると「全然分かってなかったなぁ…」といった感じです.


というわけで,今回は上限・下限の持つ有用な性質についてまとめていきます.

念のため,上限・下限の定義を確認しておきます.

今回は実数体に限って話を進めますが,Prop. 1については一般に全順序集合において同様の議論が可能です.

Def. (上限・下限)

空でない集合  A \subset \mathbb{R} について,A の上界全体の集合に最小元が存在するとき,
その最小元を A の上限といい, \mathrm{sup} A と表記する.

また,A の下界全体の集合に最大元が存在するとき,その最大元を A の下限といい,
 \mathrm{inf} A と表記する. \square

 
この最小性・最大性から導かれる次の命題は簡単ですが,非常に有用です.

Prop. 1

 s \in \mathbb{R} が空でない集合  A \subset \mathbb{R} の上限となるため必要十分条件は
次の(1),(2)を満たすことである:

(1) 任意の a \in A に対して, a \le s となる.
(2) 任意の x < s なる x \in \mathbb{R} に対して, x < a となる a \in A が存在する.

また, t \in \mathbb{R} A \subset \mathbb{R} の下限となるため必要十分条件は
次の(1'),(2')を満たすことである:

(1') 任意の a \in A に対して, a \ge t となる.
(2') 任意の x > t なる x \in \mathbb{R} に対して, x > a となる a \in A が存在する.

 
(1)は sA の上界となっていることを言っており,(2)は s より「少しでも」小さい数を持ってくると,それは絶対に A の上界とならないことを言っています.

「そりゃそうやろ」といった感じもしますが,s \in \mathbb{R} が(1),(2)さえ満たせば必ず s = \mathrm{sup} A となることはあまり自明にも思えないので,1度くらいはきちんと示して確認した方がいいでしょう.


Proof

まず, s = \mathrm{sup} A であるときに(1),(2)を満たすことを示す. sA の上界であるから,(1)は明らかに満たす.また,任意の  x < s なる x \in \mathbb{R} をとると,これは A の上界とはならない.なぜなら,この xA の上界であったとすると,sA の上界全体の集合の最小元であることに反するからである.よって,x が上界でないことから(2)も満たす.

次に,s \in \mathbb{R} が(1),(2)を満たすときに  s = \mathrm{sup} A であることを示す.(1)が成り立つので  s は明らかに A の上界である.もし,sA の上界全体の集合の最小元でないとすると, u < s なる A の上界 u \in \mathbb{R} が存在する.この u について,任意の a \in A に対して a \le u となるが,これは s が(2)を満たすことに反する.よって,sA の上界全体の集合の最小元でないといけない.つまり, s = \mathrm{sup} A となる.

 t \in \mathbb{R} について, t = \mathrm{inf} A であることと t が(1'),(2')を満たすことが同値であることは,以上の議論と全く同様にして示されるので,省略する(st に置き換え,不等号を逆にするなど,適宜修正すればよい).  \square



実数の連続性の公理で「空でない上に有界\mathbb{R} の部分集合は上限を持つ」というのがありますが,上の命題より「下に有界な部分集合が下限を持つ」ことも分かります.

具体的には次のような命題が成り立ちます.

Prop. 2

空でなく下に有界な集合 B \subset \mathbb{R} は下限を持ち, \mathrm{inf} B = - \mathrm{sup} (-B) が成り立つ.
ただし, -B := \{ -b \, ; \, b \in \mathbb{R} \} である.

 
Proof

-B が上に有界となることから  \mathrm{sup} (-B) が存在する. s := \mathrm{sup}(-B) とおいて, \mathrm{inf} B = -s となることを示す.Prop. 1より,s は次の(1),(2)を満たしている:

(1) 任意の b \in B に対して, -b \le s となる.
(2) 任意の x < s なる x \in \mathbb{R} に対して, x < -b となる b \in B が存在する.

よって,次の(1'),(2')を満たすことも分かる:

(1') 任意の b \in B に対して, b \ge -s となる.
(2') 任意の x > -s なる x \in \mathbb{R} に対して, x > b となる b \in B が存在する.

よって,再びProp. 1より  \mathrm{inf} B = -s が分かる.  \square


もう少しだけ応用例を挙げてみます*1

そのために,ちょっとだけ準備をば.

Def. (Lebesgue外測度)

 A \subset \mathbb{R} に対し,

 \displaystyle m^* (A) := \mathrm{inf} \left\{ \sum_{j=1}^\infty |I_j| \, ; \{I_j\}:開区間の列,  \, A \subset \bigcup_{j=1}^\infty I_j \right\} 

と定める.ここで, I := (a,b) に対して |I| := b-a としている.
 m^*(A)A のLebesgue外測度という. \square

Prop. 3

 A_i \subset \mathbb{R} \, (i \in \mathbb{N}) に対し,次が成り立つ:

 \displaystyle m^* \left( \bigcup_{j=1}^\infty A_j \right) \le \sum_{j=1}^\infty m^*(A_j)


Proof

任意の \varepsilon > 0 を1つとり,固定する.外測度の定義と下限の性質(Prop. 1の(2'))より,任意の j \in \mathbb{N} に対し,次を満たす開区間の列  \{I_{j,k}\}_{k \in \mathbb{N}} が存在する:

 \displaystyle A_j \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_{j,k}, \quad \sum_{k=1}^\infty |I_{j,k}| < m^*(A_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}

 \{I_{j,k}\}_{j,k \in \mathbb{N}} は可算個の開区間の集合であり,かつ \cup A_j の被覆となっている.さらに,

\displaystyle \sum_{j,k = 1}^\infty |I_{j,k}| 
= \sum_{j=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^\infty |I_{j,k}| \right) 
< \sum_{j=1}^\infty \left( m^*(A_j) + \frac{\varepsilon}{2^j} \right)
=  \sum_{j=1}^\infty m^*(A_j) + \varepsilon

よって,外測度の定義より  m^*(\cup A_j) \le \sum |I_{j,k}| < \sum m^*(A_j) + \varepsilon が成り立つ.\varepsilon は任意であったから,結局  m^*(\cup A_j) \le \sum m^*(A_j) が成り立つ.  \square
 
 
下限の性質が不等式評価に役立っているのが分かるかと思います.

こんな感じで,上限,下限の性質が不等式評価に役立つ場面をよく見る気がします.


…測度論頑張らなきゃ