さんすうのーと(3) ―上限・下限
前回:連続写像
測度論の授業で『Real and Complex Analysis』の2章に出てくるRisezの表現定理の証明を追っていたのですが,その証明中で上限・下限が地味に活躍するのです.
そんでもって,お恥ずかしながら今年の1月頃になってようやく上限・下限がきちんと理解できたというか,上限・下限の持つ性質の大切さが分かってきました.
大学に編入した当初も上限・下限の定義はもちろん知っていて,ある程度のイメージも掴んでいたのですが,今思い返してみると「全然分かってなかったなぁ…」といった感じです.
というわけで,今回は上限・下限の持つ有用な性質についてまとめていきます.
念のため,上限・下限の定義を確認しておきます.
今回は実数体に限って話を進めますが,Prop. 1については一般に全順序集合において同様の議論が可能です.
Def. (上限・下限) 空でない集合について,
の上界全体の集合に最小元が存在するとき, その最小元を
の上限といい,
と表記する. また,
の下界全体の集合に最大元が存在するとき,その最大元を
の下限といい,
と表記する.
![]()
この最小性・最大性から導かれる次の命題は簡単ですが,非常に有用です.
Prop. 1が空でない集合
の上限となるため必要十分条件は 次の(1),(2)を満たすことである: (1) 任意の
に対して,
となる. (2) 任意の
なる
に対して,
となる
が存在する. また,
が
の下限となるため必要十分条件は 次の(1'),(2')を満たすことである: (1') 任意の
に対して,
となる. (2') 任意の
なる
に対して,
となる
が存在する.
(1)は が
の上界となっていることを言っており,(2)は
より「少しでも」小さい数を持ってくると,それは絶対に
の上界とならないことを言っています.
「そりゃそうやろ」といった感じもしますが, が(1),(2)さえ満たせば必ず
となることはあまり自明にも思えないので,1度くらいはきちんと示して確認した方がいいでしょう.
Proof
まず, であるときに(1),(2)を満たすことを示す.
は
の上界であるから,(1)は明らかに満たす.また,任意の
なる
をとると,これは
の上界とはならない.なぜなら,この
が
の上界であったとすると,
が
の上界全体の集合の最小元であることに反するからである.よって,
が上界でないことから(2)も満たす.
次に, が(1),(2)を満たすときに
であることを示す.(1)が成り立つので
は明らかに
の上界である.もし,
が
の上界全体の集合の最小元でないとすると,
なる
の上界
が存在する.この
について,任意の
に対して
となるが,これは
が(2)を満たすことに反する.よって,
は
の上界全体の集合の最小元でないといけない.つまり,
となる.
について,
であることと
が(1'),(2')を満たすことが同値であることは,以上の議論と全く同様にして示されるので,省略する(
を
に置き換え,不等号を逆にするなど,適宜修正すればよい).
実数の連続性の公理で「空でない上に有界な の部分集合は上限を持つ」というのがありますが,上の命題より「下に有界な部分集合が下限を持つ」ことも分かります.
具体的には次のような命題が成り立ちます.
Prop. 2 空でなく下に有界な集合は下限を持ち,
が成り立つ. ただし,
である.
Proof
が上に有界となることから
が存在する.
とおいて,
となることを示す.Prop. 1より,
は次の(1),(2)を満たしている:
(1) 任意の に対して,
となる.
(2) 任意の なる
に対して,
となる
が存在する.
よって,次の(1'),(2')を満たすことも分かる:
(1') 任意の に対して,
となる.
(2') 任意の なる
に対して,
となる
が存在する.
よって,再びProp. 1より が分かる.
もう少しだけ応用例を挙げてみます*1.
そのために,ちょっとだけ準備をば.
Def. (Lebesgue外測度)に対し,
と定める.ここで,
に対して
としている.
を
のLebesgue外測度という.
![]()
Prop. 3に対し,次が成り立つ:
![]()
Proof
任意の を1つとり,固定する.外測度の定義と下限の性質(Prop. 1の(2'))より,任意の
に対し,次を満たす開区間の列
が存在する:
は可算個の開区間の集合であり,かつ
の被覆となっている.さらに,
よって,外測度の定義より が成り立つ.
は任意であったから,結局
が成り立つ.
下限の性質が不等式評価に役立っているのが分かるかと思います.
こんな感じで,上限,下限の性質が不等式評価に役立つ場面をよく見る気がします.
…測度論頑張らなきゃ
*1:『新版 ルベーグ積分と関数解析』のp,17-18より