さんすうのーと(３) ―上限・下限

測度論の授業で『Real and Complex Analysis』の2章に出てくるRisezの表現定理の証明を追っていたのですが，その証明中で上限・下限が地味に活躍するのです．

そんでもって，お恥ずかしながら今年の1月頃になってようやく上限・下限がきちんと理解できたというか，上限・下限の持つ性質の大切さが分かってきました．

大学に編入した当初も上限・下限の定義はもちろん知っていて，ある程度のイメージも掴んでいたのですが，今思い返してみると「全然分かってなかったなぁ…」といった感じです．

というわけで，今回は上限・下限の持つ有用な性質についてまとめていきます．

念のため，上限・下限の定義を確認しておきます．

今回は実数体に限って話を進めますが，Prop. 1については一般に全順序集合において同様の議論が可能です．

Def. (上限・下限)

空でない集合  について， の上界全体の集合に最小元が存在するとき，
その最小元を  の上限といい， と表記する．

また， の下界全体の集合に最大元が存在するとき，その最大元を  の下限といい，
 と表記する．

　
この最小性・最大性から導かれる次の命題は簡単ですが，非常に有用です．

Prop. 1

 が空でない集合  の上限となるため必要十分条件は
次の(1)，(2)を満たすことである：

(1) 任意の  に対して， となる．
(2) 任意の  なる  に対して， となる  が存在する．

また， が  の下限となるため必要十分条件は
次の(1')，(2')を満たすことである：

(1') 任意の  に対して， となる．
(2') 任意の  なる  に対して， となる  が存在する．

　
(1)は $s$ が $A$ の上界となっていることを言っており，(2)は $s$ より「少しでも」小さい数を持ってくると，それは絶対に $A$ の上界とならないことを言っています．

「そりゃそうやろ」といった感じもしますが， $s \in \mathbb{R}$ が(1)，(2)さえ満たせば必ず $s = \mathrm{sup} A$ となることはあまり自明にも思えないので，1度くらいはきちんと示して確認した方がいいでしょう．

Proof

まず， $s = \mathrm{sup} A$ であるときに(1)，(2)を満たすことを示す． $s$ は $A$ の上界であるから，(1)は明らかに満たす．また，任意の $x < s$ なる $x \in \mathbb{R}$ をとると，これは $A$ の上界とはならない．なぜなら，この $x$ が $A$ の上界であったとすると， $s$ が $A$ の上界全体の集合の最小元であることに反するからである．よって， $x$ が上界でないことから(2)も満たす．

次に， $s \in \mathbb{R}$ が(1)，(2)を満たすときに $s = \mathrm{sup} A$ であることを示す．(1)が成り立つので $s$ は明らかに $A$ の上界である．もし， $s$ が $A$ の上界全体の集合の最小元でないとすると， $u < s$ なる $A$ の上界 $u \in \mathbb{R}$ が存在する．この $u$ について，任意の $a \in A$ に対して $a \le u$ となるが，これは $s$ が(2)を満たすことに反する．よって， $s$ は $A$ の上界全体の集合の最小元でないといけない．つまり， $s = \mathrm{sup} A$ となる．

$t \in \mathbb{R}$ について， $t = \mathrm{inf} A$ であることと $t$ が(1')，(2')を満たすことが同値であることは，以上の議論と全く同様にして示されるので，省略する（ $s$ を $t$ に置き換え，不等号を逆にするなど，適宜修正すればよい）．　 $\square$

実数の連続性の公理で「空でない上に有界な $\mathbb{R}$ の部分集合は上限を持つ」というのがありますが，上の命題より「下に有界な部分集合が下限を持つ」ことも分かります．

具体的には次のような命題が成り立ちます．

Prop. 2

空でなく下に有界な集合  は下限を持ち， が成り立つ．
ただし， である．

　
Proof

$-B$ が上に有界となることから $\mathrm{sup} (-B)$ が存在する． $s := \mathrm{sup}(-B)$ とおいて， $\mathrm{inf} B = -s$ となることを示す．Prop. 1より， $s$ は次の(1)，(2)を満たしている：

(1) 任意の $b \in B$ に対して， $-b \le s$ となる．
(2) 任意の $x < s$ なる $x \in \mathbb{R}$ に対して， $x < -b$ となる $b \in B$ が存在する．

よって，次の(1')，(2')を満たすことも分かる：

(1') 任意の $b \in B$ に対して， $b \ge -s$ となる．
(2') 任意の $x > -s$ なる $x \in \mathbb{R}$ に対して， $x > b$ となる $b \in B$ が存在する．

よって，再びProp. 1より $\mathrm{inf} B = -s$ が分かる．　 $\square$

もう少しだけ応用例を挙げてみます*1．

そのために，ちょっとだけ準備をば．

Def. (Lebesgue外測度)

 に対し，



と定める．ここで， に対して  としている．
 を  のLebesgue外測度という．

Prop. 3

 に対し，次が成り立つ：

Proof

任意の $\varepsilon > 0$ を1つとり，固定する．外測度の定義と下限の性質(Prop. 1の(2'))より，任意の $j \in \mathbb{N}$ に対し，次を満たす開区間の列 $\{I_{j,k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ が存在する：

$\displaystyle A_j \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_{j,k}, \quad \sum_{k=1}^\infty |I_{j,k}| < m^*(A_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}$

$\{I_{j,k}\}_{j,k \in \mathbb{N}}$ は可算個の開区間の集合であり，かつ $\cup A_j$ の被覆となっている．さらに，

$\displaystyle \sum_{j,k = 1}^\infty |I_{j,k}| = \sum_{j=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^\infty |I_{j,k}| \right) < \sum_{j=1}^\infty \left( m^*(A_j) + \frac{\varepsilon}{2^j} \right) = \sum_{j=1}^\infty m^*(A_j) + \varepsilon$

よって，外測度の定義より $m^*(\cup A_j) \le \sum |I_{j,k}| < \sum m^*(A_j) + \varepsilon$ が成り立つ． $\varepsilon$ は任意であったから，結局 $m^*(\cup A_j) \le \sum m^*(A_j)$ が成り立つ．　 $\square$
　
　
下限の性質が不等式評価に役立っているのが分かるかと思います．